4014. Стороны треугольника равны a
, b
, c
. Докажите, что медиана, проведённая к стороне c
, равна \frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}
.
Указание. Достройте данный треугольник до параллелограмма.
Решение. Пусть AB=c
, BC=a
, AC=b
— стороны треугольника ABC
; CM=m
— медиана треугольника.
На продолжении медианы CM
за точку M
отложим отрезок MD
, равный CM
. Тогда ACBD
— параллелограмм. Поэтому (см. задачу 4011)
CD^{2}+AB^{2}=2(AC^{2}+BC^{2}),~\mbox{или}~4m^{2}+c^{2}=2(a^{2}+b^{2}).
Отсюда находим, что
m^{2}=\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2}).
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — с. 124
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 221, с. 22
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 27, с. 170
Источник: Ефремовъ Д. Д. Новая геометрiя треугольника. — Одесса, 1902. — № 9, с. 23
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 1, с. 92
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия 7—9: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 2002. — № 18, с. 190
Источник: Вступительный экзамен в МИИТ. — 1980
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 11, с. 6
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — с. 14
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.11(а), с. 290
Источник: Калинин А. Ю., Терёшин Д. А. Геометрия. 10—11 классы. — М.: МЦНМО, 2011. — с. 586