4011. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Указание. Выразите по теореме косинусов квадраты диагоналей из соответствующих треугольников и сложите почленно полученные равенства.
Решение. Первый способ. Пусть AC
и BD
— диагонали параллелограмма ABCD
. По теореме косинусов из треугольников ABD
и ACD
находим, что
BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2AB\cdot AD\cos\angle BAD,
AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}-2AD\cdot CD\cos\angle ADC=
=AD^{2}+CD^{2}-2AD\cdot CD\cos(180^{\circ}-\angle BAD)=
=AD^{2}+CD^{2}+2AD\cdot CD\cos\angle BAD.
Следовательно,
BD^{2}+AC^{2}=2\cdot AB^{2}+2\cdot AD^{2}.
Второй способ. Пусть \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}
. Тогда
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},~\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a},~
AC^{2}=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^{2}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2},~BD^{2}=|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|^{2}=(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})^{2}.
Следовательно,
AC^{2}+BD^{2}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})^{2}=
=\overrightarrow{a}^{2}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2}+\overrightarrow{b}^{2}-2\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}^{2}=
=2\overrightarrow{a}^{2}+2\overrightarrow{b}^{2}=2|\overrightarrow{a}|^{2}+2|\overrightarrow{b}^{2}|=2AB^{2}+2BC^{2}.
Что и требовалось доказать.
Третий способ. См. примечание к задаче 11868.
Примечание. Верно и обратное: если сумма квадратов сторон четырёхугольника равна сумме квадратов его диагоналей, то этот четырёхугольник — параллелограмм (см. задачу 10871).