10871. Докажите, что сумма квадратов всех сторон четырёхугольника равна сумме квадратов диагоналей, сложенной с учетверённым квадратом отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Решение. Первый способ. Пусть
K
,
L
,
M
и
N
— середины сторон соответственно
AB
,
BC
,
CD
и
AD
четырёхугольника
ABCD
, а
P
и
Q
— середины его диагоналей
AC
и
BD
соответственно. Тогда по теореме о средней линии треугольника
AB=2PL
,
BC=2PK
,
CD=2QL
и
AD=2QK
, а
KLMN
,
PLQN
и
PKQM
— параллелограммы (см. задачи 1204 и 1234). Применяя теорему о сумме квадратов сторон параллелограмма (см. задачу 4011), получим, что
AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}=4PL^{2}+4PK^{2}+4QL^{2}+4QK^{2}=

=2(2PL^{2}+2QL^{2})+2(2PK^{2}+2QK^{2})=2(LN^{2}+PQ^{2})+2(KM^{2}+PQ^{2})=

=2(LN^{2}+KM^{2})+4PQ^{2}=2(2KL^{2}+2LM^{2})+4PQ^{2}=

=4KL^{2}+4LM^{2}+4PQ^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4PQ^{2}.

Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть
P
и
Q
— середины диагоналей соответственно
AC
и
BD
четырёхугольника
ABCD
. Обозначим
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},~\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b},~\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{c},~\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{d},

\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{e},~\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{f},~\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{m}.

Тогда
\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{e}+\overrightarrow{m}-\frac{1}{2}\overrightarrow{f}.

Аналогично,
\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{f}-\overrightarrow{m}+\frac{1}{2}\overrightarrow{e},~\overrightarrow{c}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{e}+\overrightarrow{m}+\frac{1}{2}\overrightarrow{f},~\overrightarrow{d}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{f}-\overrightarrow{m}-\frac{1}{2}\overrightarrow{e}.

Значит,
a^{2}=\overrightarrow{a}^{2}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{e}+\overrightarrow{m}-\frac{1}{2}\overrightarrow{f}\right)^{2}=

=\frac{1}{4}\overrightarrow{e}^{2}+\overrightarrow{m}^{2}+\frac{1}{4}\overrightarrow{f}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{e}\cdot\overrightarrow{m}-\frac{1}{4}\overrightarrow{e}\cdot\overrightarrow{f}-\frac{1}{2}\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{f}.

Аналогично,
b^{2}=\overrightarrow{b}^{2}=\frac{1}{4}\overrightarrow{f}^{2}+\overrightarrow{m}^{2}+\frac{1}{4}\overrightarrow{e}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{f}+\frac{1}{4}\overrightarrow{e}\cdot\overrightarrow{f}-\frac{1}{2}\overrightarrow{e}\cdot\overrightarrow{m},

c^{2}=\overrightarrow{c}^{2}=\frac{1}{4}\overrightarrow{e}^{2}+\overrightarrow{m}^{2}+\frac{1}{4}\overrightarrow{f}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{e}\cdot\overrightarrow{m}-\frac{1}{4}\overrightarrow{e}\cdot\overrightarrow{f}+\frac{1}{2}\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{f},

d^{2}=\overrightarrow{d}^{2}=\frac{1}{4}\overrightarrow{f}^{2}+\overrightarrow{m}^{2}+\frac{1}{4}\overrightarrow{e}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{f}+\frac{1}{4}\overrightarrow{e}\cdot\overrightarrow{f}+\frac{1}{2}\overrightarrow{e}\cdot\overrightarrow{m}.

Сложив четыре этих равенства, получим, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=\overrightarrow{e}^{2}+\overrightarrow{f}^{2}+4\overrightarrow{m}^{2}=e^{2}+f^{2}-4m^{2}.

Что и требовалось доказать.
Примечание. Следствие. Если сумма квадратов диагоналей четырёхугольника равна сумме квадратов его сторон, то это параллелограмм.