K

L

AC

BD

ABCD

KL^{2}=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2}),

AB=a

BC=b

CD=c

AD=d

AC=e

BD=f

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},~\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b},~\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{c},~\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{d},~\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{e},~\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{f}.

\overrightarrow{AL}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{d})

\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{e},

\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{AL}-\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{d}-\overrightarrow{e}).

KL^{2}=\overrightarrow{KL}^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{d}-\overrightarrow{e})^{2}=

=\frac{1}{4}(\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{d}^{2}+\overrightarrow{e}^{2}-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e}+\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{e}).

\overrightarrow{f}=\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{d},~\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{e},~\overrightarrow{c}=\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{e}-\overrightarrow{d},

f^{2}=\overrightarrow{f}^{2}=a^{2}+d^{2}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d},~b^{2}=\overrightarrow{b}^{2}=a^{2}+e^{2}-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e},

c^{2}=\overrightarrow{c}^{2}=d^{2}+e^{2}+2\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{e},

2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}=f^{2}-a^{2}-d^{2},~2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e}=a^{2}+e^{2}-b^{2},~2\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{e}=c^{2}-e^{2}-d^{2}.

KL^{2}=\frac{1}{4}\left(a^{2}+d^{2}+e^{2}-(f^{2}-a^{2}-d^{2})-(a^{2}+e^{2}-b^{2})+(c^{2}-e^{2}-d^{2})\right)=

=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2}).

ABCD

KL=0

AB=CD

BC=AD

2AB^{2}+2BC^{2}=AC\cdot BD