822. Докажите, что периметр треугольника, вершинами которого служат основания высот данного остроугольного треугольника, не превосходит половины периметра данного треугольника.
Решение. Первый способ. Пусть
AA_{1}
,
BB_{1}
и
CC_{1}
— высоты остроугольного треугольника
ABC
;
S
,
R
,
r
и
p
— соответственно площадь, радиус описанной окружности с центром
O
, радиус вписанной окружности и полупериметр треугольника
ABC
,
p_{1}
— полупериметр треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}
.
Проведём касательную
AK
к описанной окружности треугольника
ABC
(точки
K
и
C
лежат по разные стороны от прямой
AB
). Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle BAK=\angle ACB=\angle AC_{1}B_{1}.

Значит,
AK\parallel B_{1}C_{1}
, а так как
OA\perp AK
, то
OA\perp B_{1}C_{1}
. Аналогично
OB\perp A_{1}C_{1}
и
OC\perp A_{1}B_{1}
.
Диагонали четырёхугольников
AB_{1}OC_{1}
,
BA_{1}OC_{1}
и
CA_{1}OB_{1}
перпендикулярны, поэтому
S=S_{AB_{1}OC_{1}}+S_{BA_{1}OC_{1}}+S_{CA_{1}OB_{1}}=\frac{1}{2}R\cdot B_{1}C_{1}+\frac{1}{2}R\cdot A_{1}C_{1}+\frac{1}{2}R\cdot A_{1}B_{1}=

=\frac{1}{2}(B_{1}C_{1}+A_{1}C_{1}+A_{1}B_{1})R=p_{1}R.

С другой стороны,
S=pr
, поэтому
p_{1}R=pr
, откуда
p_{1}=\frac{r}{R}\cdot p\leqslant\frac{1}{2}p
.
Последнее неравенство следует из того, что радиус описанной окружности треугольника не меньше диаметра вписанной, т. е.
R\geqslant2r
.
Второй способ. Воспользуемся следующим известным утверждением (задача Фаньяно, см. задачу 5010). Из всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник, наименьший периметр имеет ортотреугольник данного треугольника.
Пусть
AA_{1}
,
BB_{1}
и
CC_{1}
— высоты остроугольного треугольника
ABC
,
p
— полупериметр треугольника
ABC
,
p_{1}
— полупериметр треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}
.
Тогда периметр треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}
не превосходит периметр треугольника, вершины которого — середины сторон треугольника
ABC
, т. е.
2p_{1}\leqslant p
. Следовательно,
p_{1}\leqslant\frac{1}{2}p
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 10.81, с. 258
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 620, с. 79