826. Диагональ AC
выпуклого четырёхугольника ABCD
делит пополам диагональ BD
. Известно, что AB\gt AD
. Какой угол больше: BCA
или DCA
?
Ответ. \angle BCA\gt\angle DCA
.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение. Если XT
— медиана треугольника XYZ
, в котором XZ\gt XY
, то \angle TXY\gt\angle TXZ
.
На продолжении медианы XT
за точку T
отложим отрезок TP
, равный XT
. Тогда XYPZ
— параллелограмм, поэтому PZ=XY\lt XZ
и \angle TXY=\angle TPZ
. В треугольнике PXZ
против большей стороны XZ
лежит больший угол, значит, \angle TXY=\angle TPZ\gt\angle TXZ
. Утверждение доказано.
Пусть M
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. Тогда AM
и CM
— медианы треугольников ABD
и CBD
.
Рассмотрим треугольники ABM
и ADM
с общей стороной AM
. Известно, что BM=DM
и AB\gt AD
, поэтому \angle AMB\gt\angle AMD
. Тогда \angle DMC\gt\angle BMC
(см. задачу 3606).
Рассмотрим треугольники DMC
и BMC
с общей стороной MC
. Известно, что MD=MB
и \angle DMC\gt\angle BMC
, поэтому CD\gt BC
. Тогда по доказанному ранее утверждению
\angle BCA=\angle BCM\gt\angle DCM=\angle DCA.