829. Найдите площадь треугольника, если даны стороны a
и b
и биссектриса l
угла между ними.
Ответ. \frac{(a+b)l\sqrt{4a^{2}b^{2}-(a+b)^{2}l^{2}}}{4ab}
.
Решение. Пусть площадь треугольника равна S
, угол между данными сторонами равен 2\alpha
. По формуле для биссектрисы треугольника l=\frac{2ab\cos\alpha}{a+b}
(см. задачу 4021), откуда
\cos\alpha=\frac{(a+b)l}{2ab},~\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{(a+b)^{2}l^{2}}{4a^{2}b^{2}}}=\frac{\sqrt{4a^{2}b^{2}-(a+b)^{2}l^{2}}}{2ab},
\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{\sqrt{4a^{2}b^{2}-(a+b)^{2}l^{2}}}{2ab}\cdot\frac{(a+b)l}{2ab}=\frac{(a+b)l\sqrt{4a^{2}b^{2}-(a+b)^{2}l^{2}}}{2a^{2}b^{2}}.
Следовательно,
S=\frac{1}{2}ab\sin2\alpha=\frac{1}{2}ab\cdot\frac{(a+b)l\sqrt{4a^{2}b^{2}-(a+b)^{2}l^{2}}}{2a^{2}b^{2}}=\frac{(a+b)l\sqrt{4a^{2}b^{2}-(a+b)^{2}l^{2}}}{4ab}.