843. На диагонали AC
выпуклого четырёхугольника ABCD
находится центр окружности радиуса r
, касающейся сторон AB
, AD
и BC
. На диагонали BD
находится центр окружности такого же радиуса r
, касающейся сторон BC
, CD
и AD
. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
, зная, что указанные окружности касаются друг друга внешним образом.
Ответ. 4(\sqrt{2}+1)r^{2}
.
Указание. ABCD
— равнобедренная трапеция.
Решение. Заметим, что AD\parallel BC
(общие внешние касательные к двум равным окружностям). Поскольку AC
и DB
— биссектрисы углов A
и D
четырёхугольника ABCD
, то треугольники ABC
и BCD
— равнобедренные, AB=BC=CD
. Поэтому ABCD
— равнобедренная трапеция или прямоугольник (даже квадрат).
Докажем, что AD\gt BC
. Действительно, пусть общая касательная окружностей, проведённая через точку их касания, пересекает стороны AD
и BC
в точках M
и N
соответственно. Тогда M
и N
— середины этих сторон, и по свойству описанного четырёхугольника AB+MN=BN+AM
, или BC+2r=\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AD
, откуда AD-BC=4r\gt0
. Следовательно, ABCD
— равнобедренная трапеция с основаниями AD\gt BC
.
Пусть BK
— высота трапеции. Тогда
AK=\frac{1}{2}(AD-BC)=2r=BK
(см. задачу 1912). Поэтому \angle BAD=\angle CDA=45^{\circ}
. Следовательно,
BC=AB=BK\sqrt{2}=2r\sqrt{2},~AD=BC+2AK=2r\sqrt{2}+4r,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)BK=4r^{2}(1+\sqrt{2}).