912. В треугольнике ABC
боковые стороны AB
и BC
равны a
, угол ABC
равен 120^{\circ}
. В треугольник ABC
вписана окружность, касающаяся стороны AB
в точке D
. Вторая окружность имеет центром точку B
и проходит через точку D
. Найдите площадь той части вписанного круга, которая находится внутри второго круга.
Ответ. \frac{a^{2}(7-4\sqrt{3})\left(\frac{5\pi}{6}-\sqrt{3}\right)}{4}
.
Указание. Площадь сектора с углом 120^{\circ}
равна третьей части площади круга; с углом 60^{\circ}
— шестой.
Решение. Заметим, что
AC=a\sqrt{3},~BD=\frac{AB+BC+AC}{2}-AC=a\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
(см. задачу 219). Пусть M
— точка касания вписанной окружности со стороной BC
. Вычитая из площади сектора DBM
площадь треугольника DBM
, получим, что
\frac{1}{3}\pi BD^{2}-\frac{1}{2}BD^{2}\sin120^{\circ}=\frac{a^{2}(7-4\sqrt{3})\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)}{4}.
Пусть O
— центр вписанной окружности. Тогда
OM=r=BM\tg60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{2}.
Вычитая из площади сектора DOM
(\angle DOM=60^{\circ}
) площадь треугольника DOM
, получим, что
\frac{1}{6}\pi r^{2}-\frac{1}{2}r^{2}\sin60^{\circ}=\frac{a^{2}(7-4\sqrt{3})\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)}{4}.
Искомая площадь равна сумме полученных разностей, т. е.
\frac{a^{2}(7-4\sqrt{3})\left(\frac{5\pi}{6}-\sqrt{3}\right)}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1974, вариант 1, № 4
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 59