934. Площадь прямоугольного треугольника равна S
. Найдите площадь треугольника с вершинами в основаниях перпендикуляров, опущенных из точки пересечения медиан на катеты и гипотенузу.
Ответ. \frac{2}{9}S
.
Решение. Пусть ABC
— прямоугольный треугольник площади S
с катетами BC=a
, AC=b
и гипотенузой AB=c
, M
— точка пересечения медиан, x
, y
и z
— расстояния от точки M
до прямых AB
, BC
и AC
соответственно.
Треугольники AMB
, BMC
и AMC
равновелики (см. задачу 3013), поэтому ay=bz=cx
, откуда y=\frac{cx}{a}
и z=\frac{cx}{b}
.
Пусть площадь искомого треугольника равна S'
. Тогда
S'=\frac{1}{2}zy+\frac{1}{2}xz\sin(180^{\circ}-\angle BAC)+\frac{1}{2}xy\sin(180^{\circ}-\angle ABC)=
=\frac{1}{2}(zy+xz\sin\angle BAC+xy\sin\angle ABC)=\frac{1}{2}\left(zy+xz\cdot\frac{a}{c}+xy\cdot\frac{b}{c}\right)=
=\frac{1}{2}\left(\frac{cx}{b}\cdot\frac{cx}{a}+x\cdot\frac{cx}{b}\cdot\frac{a}{c}+x\cdot\frac{cx}{a}\cdot\frac{b}{c}\right)=\frac{1}{2}x^{2}\left(\frac{c^{2}}{ab}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=
=\frac{1}{2}x^{2}\left(\frac{c^{2}}{ab}+\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}\right)=\frac{1}{2}x^{2}\left(\frac{c^{2}}{ab}+\frac{c^{2}}{ab}\right)=\frac{x^{2}c^{2}}{ab}=\frac{\left(\frac{2S}{3}\right)^{2}}{2S}=\frac{2}{9}S.