10003. В треугольнике ABC
угол B
не является прямым. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AB
и BC
в точках C_{1}
и A_{1}
соответственно, а C_{2}
и A_{2}
— основания высот, опущенных из вершин соответственно C
и A
. Докажите, что точка пересечения высот треугольника A_{1}BC_{1}
является центром окружности, вписанной в треугольник A_{2}BC_{2}
.
Решение. Пусть C_{1}K
и A_{1}M
— высоты равнобедренного треугольника A_{1}BC_{1}
(рис. 1). Тогда
BK=BM=BA_{1}|\cos\angle B|.
Пусть M_{1}
и K_{1}
— точки касания вписанной окружности треугольника A_{2}BC_{2}
со сторонами BC_{2}
и BA_{2}
соответственно. Треугольник A_{2}BC_{2}
(рис. 2) подобен треугольнику ABC
с коэффициентом |\cos\angle B|
(см. задачу 19). При этом подобии точка K_{1}
соответствует точке C_{1}
, поэтому
BM_{1}=BK_{1}=BC_{1}|\cos\angle B|=BA_{1}|\cos\angle B|=BM=BK.
Значит, точка M_{1}
совпадает с M
, а точка K_{1}
— с K
. Тогда прямая, проходящая через точку M
перпендикулярно AB
, содержит и радиус вписанной окружности треугольника A_{2}BC_{2}
, и высоту треугольника A_{1}BC_{1}
, опущенную из вершины A_{1}
, а прямая, проходящая через точку K
перпендикулярно BC
, содержит и радиус вписанной окружности треугольника A_{2}BC_{2}
, и высоту треугольника A_{1}BC_{1}
, опущенную из вершины C_{1}
. Следовательно, точка пересечения высот треугольника A_{2}BC_{2}
совпадает с центром вписанной окружности треугольника A_{1}BC_{1}
.