10011. Имеется ромб с острым углом \alpha
и стороной a
. Две параллельные прямые, расстояние между которыми равно высоте ромба, пересекают все четыре стороны ромба. Чему может равняться сумма периметров двух треугольников, отсекаемых от ромба проведёнными прямыми? (Эти два треугольника лежат вне полосы между параллельными прямыми.)
Ответ. 2a(1\pm\cos\alpha)
.
Решение. Пусть одна из параллельных прямых пересекает стороны AB
и AD
ромба ABCD
с углом \angle A=\alpha\lt90^{\circ}
в точках M
и N
соответственно, а вторая — стороны BC
и CD
в точках P
и Q
соответственно, O
— точка пересечения отрезков MQ
и NP
, K
и L
— проекции точки O
на прямые соответственно BC
и AD
.
Расстояния от точки N
до прямых BP
и PQ
равны высоте ромба, поэтому точка N
равноудалена от сторон угла BPQ
, а значит, PN
— биссектриса этого угла. Аналогично, QM
— биссектриса угла DQP
, а так как лучи PN
и QM
— биссектрисы внешних углов треугольника PCQ
, то точка O
их пересечения — центр вневписанной окружности этого треугольника. Значит, полупериметр треугольника CPQ
равен отрезку CK
(см. задачу 4805). Аналогично, полупериметр треугольника MAN
равен отрезку AL
.
Пусть H
— проекция вершины C
на прямую AD
. Тогда
DH=CD\cos\angle CDH=CD\cos\angle A=a\cos\alpha.
Следовательно, сумма периметров отсечённых от ромба треугольников PCQ
и MAN
равна
2(AL+CK)=2(AL+LH)=2AH=2(AD+DH)=2(a+a\cos\alpha)=2a(1+\cos\alpha).
Если же \angle A=180^{\circ}-\alpha
, то аналогично получим, что сумма периметров указанных треугольников равна 2a(1+\cos\alpha)
.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1996-1997, III, 1-й тур, 10 класс