10025. Через вершины A
и B
треугольника ABC
проведена окружность, пересекающая стороны AC
и BC
в точках M
и P
. Известно, что отрезок MP
содержит центр вписанной в треугольник ABC
окружности. Найдите MP
, если AB=c
, BC=a
, CA=b
.
Ответ. \frac{c(a+b)}{a+b+c}
.
Решение. Первый способ. Пусть точки M
и P
лежат на сторонах AC
и BC
соответственно, I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, r
— её радиус, \angle ACB=\gamma
.
Из вписанного четырёхугольника AMPB
получаем, что
\angle CMP=180^{\circ}-\angle AMP=\angle ABC,
поэтому треугольник PMC
подобен треугольнику ABC
по двум углам. Пусть коэффициент подобия равен k
. Тогда
CM=kBC=ka,~CP=kAC=kb,~MP=kAB=kc,
S_{\triangle PMC}=S_{\triangle CMI}+S_{\triangle CPI},~
или
\frac{1}{2}CM\cdot CP\sin\gamma=\frac{1}{2}CM\cdot r+\frac{1}{2}CP\cdot r,
k^{2}ab\sin\gamma=kr(a+b),
а так как (см. задачу 452)
ab\sin\gamma=2S_{\triangle ABC}=(a+b+c)r,
то
k^{2}(a+b+c)r=kr(a+b),
откуда k=\frac{a+b}{a+b+c}
. Следовательно,
MP=kc=\frac{c(a+b)}{a+b+c}.
Второй способ. Пусть точки M
и P
лежат на сторонах AC
и BC
соответственно, I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, r
— её радиус, \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
.
Из вписанного четырёхугольника AMPB
получаем, что
\angle CMP=180^{\circ}-\angle AMP=\angle ABC=\beta,\angle CPM=\beta.
Поскольку
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB\sin\alpha=\frac{1}{2}bc\sin\alpha,~
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\beta=\frac{1}{2}ac\sin\beta,~
то
\sin\alpha=\frac{2S_{\triangle ABC}}{bc},~\sin\beta=\frac{2S_{\triangle ABC}}{ac}.
Следовательно,
MP=MI+IP=\frac{r}{\sin\beta}+\frac{r}{\sin\alpha}=
=\frac{rac}{2S_{\triangle ABC}}+\frac{rbc}{2S_{\triangle ABC}}=\frac{rc(a+b)}{(a+b+c)r}=\frac{c(a+b)}{a+b+c}.