10028. Чему может равняться угол B
треугольника ABC
, если известно, что расстояние между основаниями высот, опущенных из вершин A
и C
, равно половине радиуса описанной около треугольника окружности?
Ответ. 15^{\circ}
, 75^{\circ}
, 105^{\circ}
, 165^{\circ}
.
Решение. Пусть AA_{1}
и BB_{1}
— высоты треугольника ABC
, R
— радиус его описанной окружности, \angle ABC=\beta
.
Известно (см. задачу 19), что если \beta\ne90^{\circ}
, то треугольник BA_{1}C_{1}
подобен треугольнику BAC
, причём коэффициент подобия равен |\cos\beta|
. По условию задачи A_{1}C_{1}=\frac{R}{2}
, поэтому
AC=\frac{A_{1}C_{1}}{|\cos\beta|}=\frac{R}{2|\cos\beta|}.
С другой стороны, по теореме синусов AC=2R\sin\beta
, поэтому
\frac{R}{2|\cos\beta|}=2R\sin\beta,~\mbox{или}~2\sin\beta|\cos\beta|=\frac{1}{2}.
Пусть \beta\lt90^{\circ}
. Тогда из уравнения \sin2\beta=\frac{1}{2}
находим, что 2\beta=30^{\circ}
или 2\beta=150^{\circ}
, откуда \beta=15^{\circ}
или \beta=75^{\circ}
.
Пусть \beta\gt90^{\circ}
. Тогда из уравнения \sin2\beta=-\frac{1}{2}
находим, что 2\beta=330^{\circ}
или 2\beta=210^{\circ}
, откуда \beta=165^{\circ}
или \beta=105^{\circ}
.