10031. Пусть M
— точка пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника ABCD
. Докажите, что если AB=AM
, то прямая, проходящая через точку M
перпендикулярно AD
, проходит через середину дуги BC
.
Решение. Треугольник CMD
подобен равнобедренному треугольнику BAM
, поэтому он также равнобедренный. Биссектрисы вписанных углов BAC
и BDC
пересекаются в середине P
дуги BC
, не содержащей точки A
(см. задачу 430). Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника перпендикулярна основанию, поэтому AP\perp DM
и DP\perp AM
, значит, P
— точка пересечения высот треугольника AMD
. Следовательно, PM\perp AD
. Что и требовалось доказать (через точку M
можно провести единственный перпендикуляр к AD
).
Источник: Соросовская олимпиада. — 1997-1998, IV, 3-й тур, 10 класс