10035. Пусть M
— точка пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника ABCD
, Причём угол AMB
острый. На стороне BC
как на основании во внешнюю сторону по отношению к четырёхугольнику построен равнобедренный треугольник BCK
так, что \angle KBC+\angle AMB=90^{\circ}
. Докажите, что прямая KM
перпендикулярна AD
.
Решение. Обозначим \angle AMB=\alpha
(\alpha\lt90^{\circ}
). Тогда
\angle BKC=180^{\circ}-2\angle KBC=180^{\circ}-2(90^{\circ}-\angle AMB)=2\angle AMB=2\alpha,
а так как KB=KC
и \angle BMC=180^{\circ}-\alpha\gt90^{\circ}
, то K
— центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника BMC
(это следует из того, что около любого треугольника можно описать единственную окружность, см. задачу 1142).
Пусть P
— точка пересечения прямой KM
со стороной AD
. Тогда
\angle MAP=\angle KMC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle MKC)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle MKC=
=90^{\circ}-\angle MBC=90^{\circ}-\angle DBC=90^{\circ}-\angle DAC=90^{\circ}-\angle PAM.
Следовательно, \angle APM=90^{\circ}
.