10041. На плоскости имеется окружность с отмеченным центром. Пусть на этой плоскости имеется также произвольный угол. С помощью только линейки постройте биссектрису этого угла.
Решение. Лемма 1. Если на плоскости даны две параллельные прямые, то с помощью только линейки можно построить середину отрезка, лежащего на одной из этих прямых (см. задачу 1539).
Лемма 2. Если на плоскости дан отрезок и его середина, то с помощью только линейки через произвольную точку плоскости можно провести прямую, параллельную этому отрезку.
Действительно, пусть B
— середина данного отрезка AC
(рис. 1), K
— произвольная точка плоскости, не лежащая на прямой AC
. На прямой AK
возьмём произвольную точку M
, отличную от A
и K
. Пусть P
— точка пересечения прямых MB
и CK
, а T
— точка пересечения AP
и MC
. Тогда KT\parallel AC
(см. задачу 1625).
Лемма 3. Если на плоскости дана окружность, её центр и произвольная хорда, отличная от диаметра, то с помощью только линейки можно провести диаметр, перпендикулярный этой хорде.
Действительно, пусть AB
— хорда окружности с центром O
(рис. 2). Проведём диаметры AA'
и BB'
. Тогда ABB'A'
— прямоугольник, поэтому A'B'\parallel AB
. Далее, воспользовавшись леммой 1, построим середины M
и M'
отрезков AB
и A'B'
. Искомый диаметр лежит на прямой MM'
.
Переходим к нашей задаче. Пусть на плоскости даны окружность с центром O
и угол с вершиной N
(рис. 3). Через точку N
проведём прямую, высекающую на окружности хорду AB
, отличную от диаметра. Затем построим середину AB
, диаметр AA'
и через точки O
и A'
проводим прямые, параллельные AB
(леммы 3 и 2). Пусть первая из этих прямых пересекают стороны данного угла в точках M_{1}
и K_{1}
, а вторая в точках M_{2}
и K_{2}
. Тогда M_{1}
и K_{1}
— середины отрезков NM_{2}
и NK_{2}
. Через точку O
проводим диаметры EF
и GH
, параллельные сторонам угла (лемма 2), и строим биссектрису угла между этими диаметрами, т. е. диаметр XY
, перпендикулярный хорде FH
(лемма 3).
Наконец, имея середину O
отрезка XY
, через точку N
проводим прямую, параллельную этой биссектрисе (лемма 2).
Источник: Соросовская олимпиада. — 1997-1998, IV, 1-й тур, 9 класс