10046. Дан выпуклый четырёхугольник
ABCD
. Известно, что
\angle CAD=\angle DBA=40^{\circ}
,
\angle CAB=60^{\circ}
,
\angle CBD=20^{\circ}
. Найдите угол
CDB
.
Ответ.
30^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Поскольку
\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=40^{\circ}+20^{\circ}=60^{\circ},

треугольник
ABC
равносторонний, поэтому
AB=AC=BC
. Поскольку
\angle ADB=180^{\circ}-40^{\circ}-(60^{\circ}+40^{\circ})=40^{\circ}=\angle ABD,

треугольник
ABD
равнобедренный. Поэтому
AD=AB=AC
. Значит, треугольник
ACD
также равнобедренный. Тогда
\angle ADC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-40^{\circ})=70^{\circ}.

Следовательно,
\angle CDB=\angle ADC-\angle ADB=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}.

Второй способ. Поскольку
\angle ACB=180^{\circ}-\angle CAB-(\angle DBA+\angle CBD)=

=180^{\circ}-60^{\circ}-(40^{\circ}+20^{\circ})=60^{\circ}=\angle CAB=\angle ABC,

треугольник
ABC
равносторонний. В частности,
AB=AC
.
Поскольку
\angle ADB=180^{\circ}-\angle DBA-\angle BAD=

=180^{\circ}-40^{\circ}-(60^{\circ}+40^{\circ})=40^{\circ}=\angle DBA,

Треугольник
BAD
равнобедренный,
AB=AD
. Значит,
AC=AD
.
Таким образом, точки
A
и
B
лежат по одну сторону от прямой
CD
, при этом
AC=AD
и
\angle CBD=\frac{1}{2}\angle CAD
. Значит, точка
B
лежит на окружности радиуса
AC=AD
с центром
A
(см. задачу 2900). Вписанный в эту окружность угол
CBD
равен половине соответствующего центрального угла
BAC
. Следовательно,
\angle CDB=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=30^{\circ}.

Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2015-2016, XLII, окружной этап, 8 класс
Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2017, задача 2, 8-9 классы