10046. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Известно, что \angle CAD=\angle DBA=40^{\circ}
, \angle CAB=60^{\circ}
, \angle CBD=20^{\circ}
. Найдите угол CDB
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Поскольку
\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=40^{\circ}+20^{\circ}=60^{\circ},
треугольник ABC
равносторонний, поэтому AB=AC=BC
. Поскольку
\angle ADB=180^{\circ}-40^{\circ}-(60^{\circ}+40^{\circ})=40^{\circ}=\angle ABD,
треугольник ABD
равнобедренный. Поэтому AD=AB=AC
. Значит, треугольник ACD
также равнобедренный. Тогда
\angle ADC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-40^{\circ})=70^{\circ}.
Следовательно,
\angle CDB=\angle ADC-\angle ADB=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}.
Второй способ. Поскольку
\angle ACB=180^{\circ}-\angle CAB-(\angle DBA+\angle CBD)=
=180^{\circ}-60^{\circ}-(40^{\circ}+20^{\circ})=60^{\circ}=\angle CAB=\angle ABC,
треугольник ABC
равносторонний. В частности, AB=AC
.
Поскольку
\angle ADB=180^{\circ}-\angle DBA-\angle BAD=
=180^{\circ}-40^{\circ}-(60^{\circ}+40^{\circ})=40^{\circ}=\angle DBA,
Треугольник BAD
равнобедренный, AB=AD
. Значит, AC=AD
.
Таким образом, точки A
и B
лежат по одну сторону от прямой CD
, при этом AC=AD
и \angle CBD=\frac{1}{2}\angle CAD
. Значит, точка B
лежит на окружности радиуса AC=AD
с центром A
(см. задачу 2900). Вписанный в эту окружность угол CBD
равен половине соответствующего центрального угла BAC
. Следовательно,
\angle CDB=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=30^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2015-2016, XLII, окружной этап, 8 класс
Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2017, задача 2, 8-9 классы