10046. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Известно, что \angle CAD=\angle DBA=40^{\circ}
, \angle CAB=60^{\circ}
, \angle CBD=20^{\circ}
. Найдите угол CDB
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Поскольку
\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=40^{\circ}+20^{\circ}=60^{\circ},
треугольник ABC
равносторонний, поэтому AB=AC=BC
. Поскольку
\angle ADB=180^{\circ}-40^{\circ}-(60^{\circ}+40^{\circ})=40^{\circ}=\angle ABD,
треугольник ABD
равнобедренный. Поэтому AD=AB=AC
. Значит, треугольник ACD
также равнобедренный. Тогда
\angle ADC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-40^{\circ})=70^{\circ}.
Следовательно,
\angle CDB=\angle ADC-\angle ADB=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2015-2016, XLII, окружной этап, 8 класс