10047. Внутри равностороннего треугольника ABC
отмечена произвольная точка M
. Докажите, что можно выбрать на стороне AB
точку C_{1}
, на стороне BC
— точку A_{1}
, а на стороне AC
— точку B_{1}
таким образом, чтобы длины сторон треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
были равны отрезкам MA
, MB
и MC
.
Решение. Отметим на стороне AB
точку C_{1}
, на стороне BC
точку A_{1}
, а на стороне AC
точку B_{1}
таким образом, что MC_{1}\parallel BC
, MA_{1}\parallel AC
, MB_{1}\parallel AB
. Тогда отрезки MA_{1}
, MB_{1}
и MC_{1}
разобьют данный треугольник на три трапеции. Из параллельности следует, что каждый угол при большем основании этих трапеций равен 60^{\circ}
, поэтому эти трапеции равнобокие (см. задачу 1913). Следовательно, в каждой трапеции диагонали равны (см. задачу 1914): B_{1}C_{1}=MA
, A_{1}C_{1}=MB
, A_{1}B_{1}=MC
. Что и требовалось доказать.