10053. Правильный пятиугольник и правильный двадцатиугольник вписаны в одну и ту же окружность. Что больше: сумма квадратов длин всех сторон пятиугольника или сумма квадратов длин всех сторон двадцатиугольника?
Ответ. Сумма квадратов длин сторон правильного пятиугольника больше.
Решение. Заметим, что в правильном двадцатиугольнике вершины, взятые через одну, образуют правильный десятиугольник, а вершины этого десятиугольника, взятые через одну, образуют правильный пятиугольник. Следовательно, достаточно сравнить две величины: 4a_{20}^{2}
и a_{5}^{2}
, где a_{20}
и a_{5}
— длины сторон правильных двадцатиугольника и пятиугольника соответственно. Рассмотрим соответствующий фрагмент и введём обозначения вершин так, как показано на рис. 1. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Воспользуемся тем, что при n\gt4
угол любого правильного n
-угольника тупой (см. задачу 1198). Рассмотрим треугольник A_{1}A_{2}A_{3}
с тупым углом A_{2}
. По теореме косинусов
2a_{20}^{2}=a_{10}^{2}+2a_{10}^{2}\cos\angle A_{1}A_{2}A_{3}\lt a_{10}^{2},
поэтому 4a_{20}^{2}\lt2a_{10}^{2}
. Аналогично, из треугольника A_{1}A_{3}A_{5}
получим, что 2a_{10}^{2}\lt a_{5}^{2}
. Таким образом, 4a_{20}^{2}\lt a_{5}^{2}
, откуда следует, что квадрат стороны пятиугольника больше.
Второй способ. Опустим перпендикуляры A_{2}B
и A_{3}C
на A_{1}A_{5}
, а также проведём перпендикуляр A_{2}D
к A_{3}C
(рис. 2). Пусть A_{1}B=x
, A_{2}D=BC=y
. Пользуясь тем, что угол правильного двадцатиугольника равен 162^{\circ}
(см. задачу 1198), найдём
\angle A_{2}A_{1}B=27^{\circ},~\angle A_{3}A_{2}D=9^{\circ}
Из прямоугольных треугольников A_{2}A_{1}B
и A_{3}A_{2}D
получим, что
4a_{20}^{2}=2\left(\frac{x^{2}}{\cos^{2}27^{\circ}}+\frac{y^{2}}{\cos^{2}9^{\circ}}\right)\lt
\lt2\left(\frac{x^{2}}{\cos^{2}30^{\circ}}+\frac{y^{2}}{\cos^{2}9^{\circ}}\right)=\frac{8}{3}(x^{2}+y^{2}),
так как косинус убывает на промежутке (0;90^{\circ})
. Тогда
a_{5}^{2}=4(x^{2}+y^{2})=4(x^{2}+2xy+y^{2})\gt4(x^{2}+y^{2})\gt\frac{8}{3}(x^{2}+y^{2})\gt4a_{2}^{2},
откуда и следует ответ.
Третий способ. Воспользуемся формулой для вычисления длин сторон правильных n
-угольников, вписанных в окружность радиуса R
: a_{n}=2R\sin\frac{180^{\circ}}{n}
. Тогда
\frac{a_{5}^{2}}{4a_{20}^{2}}=\left(\frac{a_{5}}{2a_{20}}\right)^{2}=\left(\frac{\sin36^{\circ}}{2\sin9^{\circ}}\right)^{2}=\left(\frac{4\cos18^{\circ}\cos9^{\circ}\sin9^{\circ}}{2\sin9^{\circ}}\right)^{2}=
=(2\cos18^{\circ}\cos9^{\circ})^{2}\gt2{,}25\gt1,
так как
\cos9^{\circ}\gt\cos18^{\circ}\gt\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно, a_{5}^{2}\gt4a_{20}^{2}
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2016-2017, XLIII, окружной этап, 11 класс
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2009-2010, первый этап, задача 2, 11 класс