10055. Прямая, содержащая центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
, пересекает лучи BA
и BC
и образует с высотой, проведённой из вершины A
, угол, равный половине угла BAC
. Чему равен угол ABC
?
Ответ. Если указанная прямая пересекает сторону AB
, то \angle ABC=60^{\circ}
,
Если она пересекает продолжение стороны AB
за точку A
, то 0^{\circ}\lt\angle ABC\lt60^{\circ}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O
— центры соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
, M
— середина не содержащей точки A
дуги описанной окружности, K
— точка пересечения прямой OO_{1}
с лучом BA
. Обозначим \angle BAC=2\alpha
, \angle ABC=2\beta
, \angle ACB=\gamma
.
Поскольку AM
— биссектриса угла BAC
(см. задачу 430), а O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, то MB=MO=MC
(см. задачу 788) и
\angle CO_{1}M=\angle BO_{1}M=2\angle BAM=2\alpha
(центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного).
По условию задачи высота AH
образует с прямой OO_{1}
угол, равный \alpha
, а так как O_{1}M
— серединный перпендикуляр к стороне BC
, то O_{1}M\parallel AH
, значит, прямая OO_{1}
образует с прямой O_{1}M
также угол, равный \alpha
. Следовательно, O_{1}O
— биссектриса либо угла MO_{1}C
при вершине O_{1}
равнобедренного треугольника MO_{1}C
, либо биссектрисой угла при вершине O_{1}
равнобедренного треугольника MO_{1}B
, поэтому O_{1}O
— серединный перпендикуляр либо к отрезку MC
, либо к отрезку MB
.
Пусть точка K
лежит между A
и B
. Тогда прямая OO_{1}
не может пересечь отрезок BM
, поэтому OO_{1}
— серединный перпендикуляр к отрезку MC
. Значит, OM=OC
, а так как OM=MC
, то MC=OM=OC
, т. е. треугольник OMC
равносторонний, и \angle MOC=60^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=\angle AMC=\angle OMC=60^{\circ}.
Пусть теперь точка A
лежит между B
и K
. Тогда O_{1}O
— серединный перпендикуляр к отрезку BM
. Аналогично предыдущему случаю докажем, что \angle ACB=60^{\circ}
. Поскольку точка K
лежит на луче BA
, то
\angle ABM=\angle ABC+\angle MBC=2\beta+\alpha\lt90^{\circ}=\alpha+\beta+\gamma
(как острый угол прямоугольного треугольника), или 2\beta\lt2\gamma
, а так как 2\gamma=\angle ACB=60^{\circ}
, то \angle ABC=2\beta\lt60^{\circ}
. Все эти возможности для угла ABC
реализуются, так как приведённые рассуждения обратимы.