10056. Пусть M
— середина стороны BC
треугольника ABC
, Q
— точка пересечения его биссектрис. Известно, что MQ=QA
. Найдите минимальное возможное значение угла MQA
.
Ответ. 150^{\circ}
.
Решение. Пусть луч BQ
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке E
. Поскольку BE
— биссектриса угла ABC
, точка E
— середина не содержащей точки B
дуги описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 430), поэтому EA=EC
. Кроме того, EA=EQ=EM
(см. задачу 788). Значит, EC=EA=EQ=EM
, т. е. точки C
, A
, Q
и M
лежат на окружности с центром E
. Четырёхугольник AQMC
вписанный, поэтому \angle MQA=180^{\circ}-\angle ACB
. Отсюда получаем, что угол MQA
наименьший, когда угол ACB
наибольший.
Точки E
и Q
различны и равноудалены от концов отрезка AM
, значит, прямая EQ
— серединный перпендикуляр к этому отрезку. Точка B
лежит на прямой EQ
, поэтому AB=BM=MC
, т. е. \frac{BC}{AB}=2
. Таким образом, при фиксированных точках B
и C
точка A
лежит на окружности с центром B
и радиусом \frac{1}{2}BC
. Значит, угол ACB
наибольший в случае, когда CA
— касательная к этой окружности. Тогда треугольник ABC
прямоугольный, а так как его катет AC
равен половине гипотенузы BC
, то \angle ACB=30^{\circ}
, а \angle ABC=160^{\circ}
.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1998-1999, V, 3-й тур, 10 класс