10057. На катетах BC
и AC
прямоугольного треугольника ABC
как на сторонах построены вне треугольника квадраты с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно. Докажите, что отрезки AO_{1}
и BO_{2}
пересекаются на биссектрисе угла ACB
.
Решение. Пусть CD
— биссектриса треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла ACB
, BK
— диагональ квадрата с центром O_{1}
. Тогда
\angle ACD=\frac{1}{2}\angle ACB=45^{\circ}=\angle AKB,
поэтому CD\parallel BK
.
Отрезок AO_{1}
— медиана треугольника ABK
, значит, точка пересечения AO_{1}
и CD
— середина M
отрезка CD
(см. задачу 2607). Аналогично докажем, что BO_{2}
также проходит через середину CD
. Следовательно, отрезки AO_{1}
и BO_{2}
пересекаются в точке M
биссектрисы CD
.