2607. Докажите, что медиана AM
треугольника ABC
делит пополам любой отрезок с концами на AB
и AC
, параллельный стороне BC
.
Указание. Рассмотрите две пары подобных треугольников.
Решение. Пусть точки P
и Q
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно, PQ\parallel BC
и отрезок PQ
пересекается с медианой AM
в точке K
. Треугольник APK
подобен треугольнику ABM
, а треугольник AQK
— треугольнику ACM
, поэтому
\frac{PK}{BM}=\frac{AK}{AM},~\frac{KQ}{CM}=\frac{AK}{AM},
значит, \frac{PK}{BM}=\frac{KQ}{CM}
, а так как BM=CM
, то PK=KQ
.
Примечание. Верно и обратное: если отрезок PQ
с концами на сторонах AB
и AC
треугольника ABC
делится медианой AM
пополам, то PQ\parallel BC
(см. задачи 6784 и 13534).