6784. Отрезок с концами на сторонах AC
и BC
треугольника ABC
делится медианой CM
пополам. Докажите, что этот отрезок параллелен стороне AB
.
Решение. Пусть точки K
и L
лежат на сторонах AC
и BC
соответственно, а медиана CM
проходит через середину N
отрезка KL
. Предположим, что прямая KL
не параллельна AB
. Через точку K
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть L'
— точка её пересечения со стороной BC
. Тогда по замечательному свойству трапеции (см. задачу 1513) прямая CM
проходит через середину N'
отрезка KL'
. Значит, NN'
— средняя линия треугольника KLL'
, поэтому NN'\parallel LL'
, что невозможно, так как прямые NN'
и LL'
пересекаются в точке C
. Следовательно, KL\parallel AB
.
Примечание. Верно и обратное (см. задачу 607).