13534. Точка M
— середина стороны BC
треугольника ABC
, точки P
и R
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно. Докажите, что если точка Q
пересечения PR
и AM
— середина отрезка PR
, то PR
параллельно BC
.
Решение. Предположим, что PR
не параллельно BC
. Проведём через точку Q
прямую, параллельную BC
. Пусть эта прямая пересекает AB
и AC
в точках X
и Y
соответственно. Тогда Q
— середина отрезка XY
(см. задачу 2607), и четырёхугольник PXRY
— параллелограмм, так как его диагонали точкой пересечения Q
делятся пополам. Значит, PX\parallel RY
, или AB\parallel AC
, что невозможно. Следовательно, PR\parallel BC
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1993, № 6, задача 7, с. 164
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 1991