10070. Окружность \omega
касается сторон угла BAC
в точках B
и C
. Прямая l
пересекает отрезки AB
и AC
в точках K
и L
соответственно. Окружность \omega
пересекает l
в точках P
и Q
. Точки S
и T
выбраны так, что KS\parallel AC
и LT\parallel AB
. Докажите, что точки P
, Q
, S
и T
лежат на одной окружности.
Решение. Если l\parallel BC
, утверждение очевидно, так как в этом случае точки P
, Q
, S
и T
— вершины равнобедренной трапеции.
Пусть X
— точка пересечения прямых BC
и l
. Тогда \frac{XB}{XT}=\frac{XK}{XL}=\frac{XS}{XC}
, так как TL\parallel BK
и KS\parallel CL
. Значит, XT\cdot XS=XB\cdot XC
. С другой стороны, точки B
, C
, P
и Q
лежат на окружности \omega
, поэтому XB\cdot XC=XP\cdot XQ
(см. задачу 2636). Значит, XT\cdot XS=XP\cdot XQ
. Следовательно, точки P
, Q
, S
и T
лежат на одной окружности (см. задачу 114).
Автор: Богданов И. И.
Автор: Кожевников П. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2015-2016, XLII, заключительный этап, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2016, № 4, с. 13, М2431; 2017, № 1, с. 17, М2431
Источник: Задачник «Кванта». — 2016, № 4, М2231