10070. Окружность \omega
касается сторон угла BAC
в точках B
и C
. Прямая l
пересекает отрезки AB
и AC
в точках K
и L
соответственно. Окружность \omega
пересекает l
в точках P
и Q
. Точки S
и T
выбраны так, что KS\parallel AC
и LT\parallel AB
. Докажите, что точки P
, Q
, S
и T
лежат на одной окружности.
Решение. Если l\parallel BC
, утверждение очевидно, так как в этом случае точки P
, Q
, S
и T
— вершины равнобедренной трапеции.
Пусть X
— точка пересечения прямых BC
и l
. Тогда \frac{XB}{XT}=\frac{XK}{XL}=\frac{XS}{XC}
, так как TL\parallel BK
и KS\parallel CL
. Значит, XT\cdot XS=XB\cdot XC
. С другой стороны, точки B
, C
, P
и Q
лежат на окружности \omega
, поэтому XB\cdot XC=XP\cdot XQ
(см. задачу 2636). Значит, XT\cdot XS=XP\cdot XQ
. Следовательно, точки P
, Q
, S
и T
лежат на одной окружности (см. задачу 114).