10074. В треугольнике ABC
медианы AM_{A}
, BM_{B}
и CM_{C}
пересекаются в точке M
. Построим окружность \Omega_{A}
, проходящую через середину отрезка AM
и касающуюся отрезка BC
в точке M_{A}
. Аналогично строятся окружности \Omega_{B}
и \Omega_{C}
. Докажите, что окружности \Omega_{A}
, \Omega_{B}
и \Omega_{C}
имеют общую точку.
Решение. Воспользуемся следующим утверждением. Если на сторонах треугольника ABC
внешним образом построены треугольники ABC_{1}
, AB_{1}C
и A_{1}BC
, причём сумма их углов при вершинах A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
кратна 180^{\circ}
, то описанные окружности построенных треугольников пересекаются в одной точке (см. задачу 1080).
Пусть K_{A}
, K_{B}
и K_{C}
— середины отрезков AM
, BM
и CM
соответственно. Тогда M_{C}K_{B}\parallel AM
и K_{B}M_{A}\parallel MC
как средние линии в треугольниках ABM
и CBM
соответственно. Значит, \angle M_{C}K_{B}M_{A}=\angle AMC
. Аналогично \angle M_{C}K_{A}M_{B}=\angle BMC
и \angle M_{A}K_{C}M_{B}=\angle BMA
. Следовательно,
\angle M_{C}K_{A}M_{B}+\angle M_{B}K_{C}M_{A}+\angle M_{A}K_{B}M_{C}=360^{\circ}.
Согласно утверждению задачи 1080, окружности, описанные около треугольников M_{C}K_{A}M_{B}
, M_{B}K_{C}M_{A}
и M_{A}K_{B}M_{C}
, имеют общую точку X
. Тогда, используя ориентированные углы (см. задачу 873), получим, что
\angle(K_{B}X,XM_{B})=\angle(K_{B}X,XM_{C})+\angle(M_{C}X,XM_{B})=
=\angle(K_{B}M_{A},M_{A}M_{C})+\angle(M_{C}K_{A},K_{A}M_{B})=
=\angle(MC,CA)+\angle(MB,MC)=\angle(BM,CA)=\angle(K_{B}M_{B},AC).
Это равенство означает, что окружность \Omega_{B}
проходит через точку X
. Аналогично, через точку X
проходят окружности \Omega_{A}
и \Omega_{C}
.
Автор: Якубов А. Г.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2015-2016, XLII, заключительный этап, 11 класс