10076. Могут ли две биссектрисы треугольника разбивать его на четыре части равной площади?
Ответ. Нет, не могут.
Решение. Первый способ. Пусть такое возможно, т. е. биссектрисы AD
и BE
треугольника ABC
разбивают его на четыре части равной площади. Пусть I
— точка пересечения указанных биссектрис. Равновеликие треугольники AIB
и AIE
имеют общую высоту, проведённую из вершины A
, поэтому BI=IE
. Аналогично, из равенства площадей треугольников AIB
и DIB
следует равенство AI=ID
. Значит, диагонали четырёхугольника AEDB
точкой пересечения делятся пополам, т. е. AEDB
— параллелограмм. Это невозможно, так как прямые AE
и BD
не параллельны, они пересекаются в точке C
.
Второй способ. Пусть такое возможно, т. е. биссектрисы AD
и BE
треугольника ABC
разбивают его на четыре части равной площади. Треугольники ACD
и ABD
равновелики, поэтому биссектриса AD
является медианой. Аналогично BE
— медиана. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей (см. задачу 3013), значит, площадь треугольника AIE
составляет шестую часть площади треугольника ABC
, а не четверть (как в условии). Противоречие.
Примечание. Заметим, что из решения первым способом следует, что условие задачи избыточно, достаточно равенства площадей трёх получившихся треугольников.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2015-2016, XLII, школьный этап, 10 класс