10081. Даны параллелограмм ABCD
и такая точка K
, что AK=BD
. Точка M
— середина CK
. Докажите, что \angle BMD=90^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— центр параллелограмма. Тогда OM
— средняя линия треугольника CAK
(OM=\frac{1}{2}AK
и в случае, когда K
лежит на прямой CA
). Поэтому в треугольнике BMD
медиана MO
равна половине противоположной стороны BD
, причём BD=AK
. Следовательно, угол BMD
прямой (см. задачу 1188).
Примечание. Если AK\parallel BD
, то треугольник BMD
вырождается и угол BMD
не имеет смысла.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Турнир городов. — 2016-2017, XXXVIII, осенний тур, базовый вариант, 8-9 классы