1188. Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена. Докажите, что треугольник — прямоугольный.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о сумме внутренних углов треугольника.
Решение. Пусть медиана CM
треугольника ABC
равна половине стороны AB
. Тогда AM=CM=BM
, поэтому треугольники AMC
и BMC
— равнобедренные. Обозначим \angle CAB=\alpha
, \angle CBA=\beta
. Тогда
\angle ACM=\alpha,~\angle BCM=\beta,~\angle ACB=\alpha+\beta.
По теореме о сумме углов треугольника
\alpha+\beta+(\alpha+\beta)=180^{\circ},
следовательно,
\angle ACB=\alpha+\beta=90^{\circ}.
Примечание. Верно и обратное: медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109).