10083. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность \Omega
с центром O
, причём точка O
не лежит на диагоналях четырёхугольника. Описанная окружность \Omega_{1}
треугольника AOC
проходит через середину диагонали BD
. Докажите, что описанная окружность \Omega_{2}
треугольника BOD
проходит через середину диагонали AC
.
Решение. Пусть K
и L
— середины диагоналей AC
и BD
соответственно. Отрезки OK
и OL
перпендикулярны соответственно хордам AC
и BD
окружности \Omega
. Пусть K'
— точка, диаметрально противоположная точке O
на окружности \Omega_{1}
. Поскольку L
лежит на \Omega_{1}
, угол OLK'
прямой. Значит, прямая BD
проходит через точку K'
. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Можно считать, что углы A
и D
острые. Углы ALB
и BLC
равны как опирающиеся на равные дуги AK'
и CK'
окружности \Omega_{1}
. Поэтому
\angle BLC=\frac{1}{2}\angle ALC=\frac{1}{2}\angle AOC=\angle ADC.
Значит, треугольники ACD
и BCL
подобны по двум углам. Отсюда AC:AD=BC:BL
, т. е.
BC\cdot AD=BL\cdot AC=\frac{1}{2}BD\cdot AC.
По теореме Птолемея (см. задачу 1390)
DC\cdot AB+BC\cdot AD=DC\cdot AB+\frac{1}{2}BD\cdot AC=BD\cdot AC,
откуда
DC\cdot AB=\frac{1}{2}BD\cdot AC=KC\cdot BD.
Из равенства DC\cdot AB=KC\cdot BD
следует подобие треугольников CKD
и BAD
(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, \angle CKD=\angle BAD
. Аналогично из равенства BC\cdot AD=KC\cdot BD
получаем, что равны углы CKB
и BAD
. Поэтому
\angle BKD=2\angle BAD=\angle BOD,
т. е. точка K
лежит на окружности \Omega_{2}
.
Второй способ. При инверсии относительно окружности \Omega
прямая AC
переходит в окружность \Omega_{1}
, а точка K
— в точку K'
. Поскольку K'
лежит на прямой BD
, то K
лежит на её образе — окружности \Omega_{2}
.
Примечание. Вписанный четырёхугольник, у которого произведения противоположных сторон равны, называется гармоническим. О свойствах гармонического четырёхугольника можно прочесть в статье Я. Понарина «Гармонический четырёхугольник».