10084. На катетах AC
и BC
прямоугольного треугольника ABC
отметили точки K
и L
соответственно, а на гипотенузе AB
— точку M
так, что AK=BL=a
, KM=LM=b
и угол KML
прямой. Докажите, что a=b
.
Решение. Первый способ. Предположим, что a\gt b
. Тогда из треугольника AKM
получаем, что \angle AMK\gt\angle A
(см. задачу 3499). Следовательно,
\angle B=90^{\circ}-\angle A\gt90^{\circ}-\angle AMK=\angle BML,
и из треугольника BML
получаем, что b\gt a
. Противоречие.
Аналогично к противоречию приводит предположение a\lt b
.
Второй способ. При повороте вокруг точки M
на 90^{\circ}
точка K
перейдёт в L
, точка A
— в некоторую точку D
. При этом AM\perp DM
, AK\perp DL
. Отсюда следует, что точка D
лежит на прямой BC
, а ML
— медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника DMB
. Значит, она равна половине гипотенузы DB
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Точка D
может лежать на луче LC
и за пределами отрезка LC
.