10088. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
. Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках P
и Q
. Пусть K
и N
— середины диагоналей. Докажите, что сумма углов PKQ
и PNQ
равна 180^{\circ}
.
Решение. Пусть K
и N
— середины диагоналей BD
и AC
соответственно, P
— точка пересечения прямых BC
и AD
, Q
— точка пересечения прямых AB
и CD
, причём точка B
лежит между C
и P
, а точка D
— между C
и Q
.
Треугольники ACP
и BDP
подобны, поскольку у них углы C
и D
опираются на одну дугу, а угол P
общий. Поэтому соответственные медианы в них отсекают подобные треугольники ANP
и BKP
. Следовательно, углы ANP
и BKP
равны. Аналогично, подобие треугольников ACQ
и DBQ
влечёт равенство углов ANQ
и DKQ
. Следовательно,
\angle PKQ+\angle PNQ=\angle PKQ+\angle BKP+\angle DKQ=\angle BKD=180^{\circ}.
Примечание. См. задачу 10001.