10001. Прямые, содержащие противоположные стороны вписанного в окружность четырёхугольника, пересекаются в точках K
и L
. Пусть F
— середина отрезка KL
, а E
и G
— середины диагоналей данного четырёхугольника. Известно, что FE=a
, FG=b
. Найдите KL
.
Ответ. 2\sqrt{ab}
.
Решение. Пусть ABCD
— вписанный четырёхугольник, прямые AB
и CD
пересекаются в точке K
, прямые AD
и BC
— в точке L
, причём точка A
лежит между B
и K
, точка C
— между B
и L
, а точки E
и G
— середины BD
и AC
соответственно.
Известно (см. задачу 6149), что точки E
, G
и F
лежат на одной прямой — прямой Гаусса четырёхугольника ABCD
(это верно для любого четырёхугольника, не обязательно вписанного).
Поскольку четырёхугольник ABCD
вписанный, \angle ACK=\angle DBK
как вписанные углы, опирающиеся но одну и ту же дугу. Значит, треугольники KBD
и KCA
подобны по двум углам. Отрезки KE
и KG
— соответствующие медианы этих треугольников, а KED
и KGA
— соответствующие углы, поэтому \angle KED=\angle KGA
. Аналогично \angle LED=\angle LGC
. Следовательно,
\angle KEL+\angle KGL=(\angle KED+\angle LED)+\angle KGL=
=(\angle KGA+\angle LGC)+\angle KGL=180^{\circ}.
На продолжении отрезка GF
за точку F
отложим отрезок FG_{1}=GF
. Тогда KGLG_{1}
— параллелограмм, поэтому \angle KG_{1}L=\angle KGL
. Значит,
\angle KEL+\angle KG_{1}L=\angle KEL+\angle KGL=180^{\circ},
и четырёхугольник KELG_{1}
вписанный (см. задачу 49). Следовательно (см. задачу 2627),
\frac{1}{4}KL^{2}=\frac{1}{2}KL\cdot\frac{1}{2}KL=KF\cdot FL=EF\cdot FG_{1}=EF\cdot FG=ab,
откуда KL=2\sqrt{ab}
.
Примечание. В оригинальном условии сказано, что можно воспользоваться прямой Гаусса без доказательства.