10092. Пусть M
— середина основания AC
равнобедренного треугольника ABC
. На сторонах AB
и BC
отмечены соответственно точки E
и F
так, что AE\ne CF
и \angle FMC=\angle MEF=\alpha
. Найдите \angle AEM
.
Ответ. \alpha
.
Решение. Рассмотрим описанную окружность треугольника MEF
. Угол между касательной и хордой MF
, проходящими через точку M
, равен \angle MEF=\angle FMC
. Поэтому MC
и есть касательная (см. задачу 144). Значит, центр окружности лежит на высоте BM
. Следовательно, эта высота является осью симметрии рисунка. Поскольку AE\ne CF
, окружность пересекает каждую из боковых сторон в двух точках. Причём E
и F
не симметричны.
Два возможных случая снабжены соответствующими индексами (см. рис.): в первом E
и F
заменены соответственно на E_{1}
и F_{1}
, во втором — на E_{2}
и F_{2}
. Рассмотрим эти случаи.
1) Внешний угол AE_{1}M
вписанного четырёхугольника ME_{1}E_{2}F_{2}
равен углу MF_{2}E_{2}
, а последний равен симметричному углу ME_{1}F_{1}
, равному \alpha
.
2) Вписанные углы AE_{2}M
и ME_{2}F_{2}
, равный \alpha
, опираются на симметричные дуги.