10100. Из основания H
высоты CH
треугольника ABC
опущены перпендикуляры HA_{1}
и HB_{1}
на прямые AC
и BC
. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC
равен R
. Докажите, что A_{1}B_{1}=\frac{S_{\triangle ABC}}{R}
Решение. Из точек A_{1}
и B_{1}
отрезок CH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CH
. Тогда (см. задачу 23)
A_{1}B_{1}=CH\sin\angle ACB=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AD}\cdot\frac{AD}{2R}=\frac{S_{\triangle ABC}}{R}.
Что и требовалось доказать.