10102. Равносторонний треугольник ABC
вписан в окружность \Omega
и описан вокруг окружности \omega
. На сторонах AC
и AB
выбраны точки P
и Q
соответственно так, что отрезок PQ
проходит через центр треугольника ABC
. Окружности \Gamma_{b}
и \Gamma_{c}
построены на отрезках BP
и CQ
как на диаметрах. Докажите, что окружности \Gamma_{b}
и \Gamma_{c}
пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на \Omega
, а другая — на \omega
.
Решение. Пусть O
— центр треугольника ABC
, B_{2}
и C_{2}
— точки касания окружности \omega
со сторонами AC
и AB
соответственно, B_{1}
и C_{1}
— точки окружности \Omega
, диаметрально противоположные точкам B
и C
соответственно. Тогда точки B_{1}
и C_{1}
симметричны точке O
относительно прямых AC
и AB
соответственно, поэтому
\angle OB_{1}P=\angle B_{1}OP,~\angle OC_{1}Q=\angle C_{1}OQ
(см. задачу 5785).
Пусть лучи B_{1}P
и C_{1}Q
пересекают окружность \Omega
в точках B'
и C'
соответственно. Докажем, что эти точки совпадают.
Действительно, точка B'
лежит на окружности \Omega
с диаметром BB_{1}
, а точка C'
— на окружности \Omega
с диаметром CC_{1}
, поэтому
\angle PB'B=\angle B_{1}B'B=90^{\circ},~\angle CC'Q=\angle CC'C_{1}=90^{\circ}.
Значит, точка B'
лежит на окружности \Gamma_{b}
, а точка C'
— на окружности \Gamma_{c}
. При этом для меньших дуг BB'
, CC'
и AB
окружности \Omega
верно равенство
\smile BB'+\smile CC'=2(\angle BB_{1}B'+\angle CC_{1}C')=2(\angle B_{1}OP+\angle C_{1}OQ)=
=2(180^{\circ}-\angle B_{1}OC_{1})=2(180^{\circ}-120^{\circ})=120^{\circ}=\smile AB
(см. задачу 4770). Это означает, что точки B'
и C'
совпадают. Следовательно, окружности \Gamma_{b}
и \Gamma_{c}
пересекаются в точке B'
, лежащей на окружности \Omega
.
Поскольку
\angle BB_{2}P=\angle CC_{2}Q=90^{\circ},
точки B_{2}
и C_{2}
лежат на окружностях \Gamma_{b}
и \Gamma_{c}
соответственно. Пусть луч B'O
пересекает окружность \omega
в точке X
. Тогда
OX=OB_{2}=OC_{2}~\mbox{и}~OB'=OB=OC,
откуда
OB\cdot OB_{2}=OB'\cdot OX=OC\cdot OC_{2}.
Первое из этих равенств означает, что точки B
, B_{2}
, B'
и X
лежат на одной окружности (см. задачу 114), т. е. точка X
лежит на окружности \Gamma_{b}
. Аналогично, из второго равенства следует, что X
лежит на окружности \Gamma_{c}
. Значит, точка X
и является точкой пересечения окружностей \Gamma_{b}
и \Gamma_{c}
, лежащей на окружности \omega
.