10103. В остроугольном треугольнике ABC
проведены медиана AM
и высота BH
. Перпендикуляр, восстановленный в точке M
к прямой AM
, пересекает луч HB
в точке K
. Докажите, что если \angle MAC=30^{\circ}
, то AK=BC
.
Решение. Первый способ. Из точек M
и H
отрезок AK
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AK
(рис. 1). По теореме синусов
MH=AK\sin\angle MAH=AK\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}AK.
С другой стороны, MH
— медиана прямоугольного треугольника BCH
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому MH=\frac{1}{2}BC
(см. задачу 1109). Следовательно, AK=BC
.
Второй способ. Достроим треугольник ABC
до параллелограммов ABPC
и AQBC
(рис. 2). Тогда точка B
— середина отрезка PQ
, BP=AC=BQ
и KH\perp PQ
. Кроме того, точка M
— середина отрезка AP
(как точка пересечения диагоналей параллелограмма ABPC
). Значит, прямые MK
и HK
— серединные перпендикуляры к отрезкам AP
и PQ
. Следовательно, точка K
пересечения этих серединных перпендикуляров — центр окружности \Omega
, описанной около треугольника APQ
.
Поскольку \angle APQ=\angle PAC=30^{\circ}
, хорда AQ
окружности \Omega
равна радиусу AK
. Наконец, из параллелограмма AQBC
получаем, что BC=AQ=AK
.