10112. Через точку O
внутри равностороннего треугольника проведены прямые, проходящие через его вершины. В результате получилось шесть треугольников, три из которых, через один заштриховали. Докажите, что если сумма площадей заштрихованных треугольников равна половине площади равностороннего треугольника, то точка O
лежит на одной из медиан этого треугольника.
Решение. Пусть ABC
— равносторонний треугольник со стороной 2, точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
лежат на сторонах BC
, AC
и AB
соответственно, а отрезки AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
пересекаются в точке O
. Обозначим
AC_{1}=1+a,~BA_{1}=1+b,~CB_{1}=1+c
(какие-то из чисел a
, b
, c
могут быть отрицательными). Тогда
C_{1}B=1-a,~A_{1}C=1-b,~B_{1}A=1-c.
Заметим, что
S_{\triangle ABB_{1}}+S_{\triangle BCC_{1}}+S_{\triangle CAA_{1}}=
=2S_{\triangle OBC_{1}}+2S_{\triangle OCA_{1}}+2S_{\triangle OAB_{1}}+S_{\triangle OBA_{1}}+S_{\triangle OCB_{1}}+S_{\triangle OAC_{1}}=
=2\cdot\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}+\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{2}S_{\triangle ABC}.
Если высота треугольника ABC
равна h
, то
\frac{1}{2}(1-c)h+\frac{1}{2}(1-a)h+\frac{1}{2}(1-b)h=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot2h=\frac{3}{2}h,
откуда a+b+c=0
.
С другой стороны, по теореме Чевы (см. задачу 1621)
\frac{1+a}{1-a}\cdot\frac{1+b}{1-b}\cdot\frac{1+c}{1-c}=\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=1,
откуда
(1+a)(1+b)(1+c)=(1-a)(1-b)(1-c).
Раскрыв скобки и приведя подобные, получим, что
a+b+c+abc=0,
а так как a+b+c=0
, то abc=0
. Значит, хотя бы одно из чисел a
, b
, c
равно нулю, т. е. точка O
лежит хотя бы на одной из медиан треугольника ABC
.