10113. Два равных равнобедренных треугольника расположены на плоскости так, что вершина прямого угла каждого из них лежит на гипотенузе другого. Рассматривается четырёхугольник с вершинами, расположенными в вершинах острых углов этих треугольников. Докажите, что отрезок, соединяющий вершины прямых углов, делит площадь рассматриваемого четырёхугольника пополам.
Решение. Известно, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними (см. задачу 3018). Отрезок, соединяющий вершины прямых углов данных треугольников, разбивает рассматриваемый четырёхугольник на два четырёхугольника, причём диагонали одного из них равны диагоналям другого и соответственно перпендикулярны диагоналям другого. Следовательно, эти четырёхугольники равновелики.
Источник: Произволов В. В. Задачи на вырост. — М.: МИРОС, 1995. — № 1, с. 80