10121. Координаты вершин равнобедренного треугольника — целые числа. Докажите, что квадрат основания треугольника — чётное число.
Решение. Пусть ABC
— данный равнобедренный треугольник с основанием AC
. Параллельно перенесём его на вектор \overrightarrow{AO}
. Получим равнобедренный треугольник OB'C'
. Координаты (b_{1};b_{2})
и (c_{1};c_{2})
его вершин B'
и C'
останутся целыми числами. Равенство B'O=B'C
означает, что
b_{1}^{2}+b_{2}^{2}=(b_{1}-c_{1})^{2}+(b_{2}-c_{2})^{2}
(см. задачу 4201), откуда
AC^{2}=OC'^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=2(b_{1}c_{1}+b_{2}c_{2}).
Что и требовалось доказать.