10125. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, центр O
которой лежит внутри него. Докажите, что, если \angle BAO=\angle DAC
, то диагонали четырёхугольника перпендикулярны.
Решение. Первый способ. Поскольку
\angle BAO=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOB)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOB=90^{\circ}-\angle ADB,
то \angle DAC+\angle ADB=90^{\circ}
, что равносильно утверждению задачи.
Второй способ. Обозначим \angle BAO+\angle DAC=\alpha
. Из равнобедренных треугольников AOB
и COD
получаем, что
\angle AOB=180^{\circ}-2\alpha,~\angle COD=2\alpha.
Следовательно, угол между хордами AC
и BD
равен
\frac{1}{2}(\angle AOB+\angle COD)=\frac{1}{2}((180^{\circ}-2\alpha)+2\alpha)=90^{\circ}
(см. задачу 26).