10128. В окружности с центром O
проведены две параллельные хорды AB
и CD
. Окружности с диаметрами AB
и CD
пересекаются в точке P
. Докажите, что середина отрезка OP
равноудалена от прямых AB
и CD
.
Решение. Пусть R=OA
— радиус первой окружности, X
и Y
— середины хорд AB
и CD
соответственно, Q
— середина отрезка OP
. Тогда по формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4014)
XQ^{2}=\frac{1}{4}(2OX^{2}+2XP^{2}-OP^{2})=\frac{1}{4}(2OX^{2}+2XA^{2}-OP^{2})=
=\frac{1}{4}(2OA^{2}-OP^{2})=\frac{1}{4}(2R^{2}-OP^{2}).
YQ^{2}=\frac{1}{4}(2OY^{2}+2YP^{2}-OP^{2})=\frac{1}{4}(2OY^{2}+2YC^{2}-OP^{2})=
=\frac{1}{4}(2OC^{2}-OP^{2})=\frac{1}{4}(2R^{2}-OP^{2}).
Значит, XQ=YQ
, т. е. точка Q
равноудалена от точек X
и Y
, а следовательно, и от прямых AB
и CD
.