10130. Внутри вписанного четырёхугольника ABCD
существует точка K
, расстояния от которой до сторон четырёхугольника пропорциональны этим сторонам. Докажите, что K
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
.
Решение. Множество точек, расстояния от которых до прямых AB
и CD
пропорциональны соответствующим отрезкам AB
и CD
, — это прямая l
, проходящая через точку пересечения прямых AB
и CD
(см. задачу 10129). Поскольку четырёхугольник ABCD
— вписанный, треугольники LAB
и LDC
(где L
— точка пересечения диагоналей) подобны. Значит, их высоты, проведённые из общей вершины L
пропорциональны противоположным сторонам, т. е. точка L
также лежит на прямой l
. Аналогично L
лежит на второй такой же прямой и, значит, совпадает с K
.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Всероссийская олимпиада по геометрии. — 2005, 11 класс