10152. Точки A'
, B'
, C'
— основания высот остроугольного треугольника ABC
. Окружность с центром B
и радиусом BB'
пересекает прямую A'C'
в точках K
и L
(точки K
и A
лежат по одну сторону от BB'
). Докажите, что точка пересечения прямых AK
и CL
лежит на прямой BO
, где O
— центр описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть прямые AK
и CL
пересекаются в точке M
. Заметим, что
\angle AC'B'=\angle BC'A'=\angle AC'K
(см. задачу 141). Значит, при симметрии относительно прямой AB
луч CB'
переходит в луч C'K
. При этом указанная в условии окружность с центром B
переходит в себя (см. задачу 1677), следовательно, точка B'
переходит в K
. Поскольку AC
— касательная к этой окружности, то AK
— также касательная. Аналогично, CL
— касательная к этой окружности. Таким образом, MK=ML
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки.
Поскольку радиус OB
описанной окружности треугольника ABC
перпендикулярен хорде KL
(см. задачу 480), точка O
равноудалена от концов отрезка KL
. Следовательно, точки M
, B
и O
лежат на одной прямой — на серединном перпендикуляре к отрезку KL
.