10162. Дан параллелограмм ABCD
, в котором AB=a
, AD=b
. Первая окружность имеет центр в вершине A
и проходит через вершину D
, вторая имеет центр в вершине C
и проходит через вершину D
. Произвольная окружность с центром B
пересекает первую окружность в точках M_{1}
и N_{1}
, а вторую — в точках M_{2}
и N_{2}
. Чему равно отношение M_{1}N_{1}:M_{2}N_{2}
?
Ответ. \frac{b}{a}
.
Решение. Точки M_{1}
и N_{1}
симметричны относительно прямой AB
(см. задачу 1130), поэтому отрезок M_{1}N_{1}
равен удвоенному расстоянию от точки M_{1}
до прямой AB
. Аналогично, отрезок M_{2}N_{2}
равен удвоенному расстоянию от M_{2}
до прямой BC
. Кроме того,
CM_{2}=CD=AB,~AM_{1}=AD=BC,~BM_{1}=BM_{2},
и значит, треугольники ABM_{1}
и CM_{2}B
равны по трём сторонам. Следовательно, искомое отношение, равное отношению высот этих треугольников, обратно отношению соответствующих сторон, т. е. равно \frac{b}{a}
.