10166. В трапеции ABCD
боковая сторона AB
равна меньшему основанию BC
, а диагональ AC
равна основанию AD
. Прямая, проходящая через вершину B
параллельно AC
, пересекает прямую DC
в точке M
. Докажите, что AM
— биссектриса угла BAC
.
Решение. Первый способ. Из условия следует, что
\angle BMC=\angle ACD=\angle CDA=\angle BCM
(рис. 1). Значит,
BM=BC=AB,~\mbox{и}~\angle BAM=\angle BMA=\angle MAC.
Следовательно, AM
— биссектриса угла BAC
.
Второй способ. На продолжении стороны AB
за точку B
отметим точку P
, а на продолжении диагонали AC
за точку C
— точку K
(рис. 2). Тогда
\angle MCK=\angle ACD=\angle ADC=\angle BCM,
т. е. CM
— биссектриса угла BCK
. Поскольку AC
— биссектриса угла BAD
и BM\parallel AC
, то BM
— биссектриса угла PBC
. Таким образом, M
— точка пересечения биссектрис двух внешних углов треугольника ABC
. Следовательно, AM
— биссектриса угла BAC
(см. задачу 1192).