10173. Из произвольной точки D
, лежащей на описанной окружности фиксированного треугольника ABC
, опущены перпендикуляры DP
и DQ
на прямые AB
и AC
. Докажите, что наибольшее значение длины отрезка PQ
равно длине стороны BC
.
Указание. Примените теорему синусов (см. задачу 23).
Решение. Пусть R
— радиус окружности. По теореме синусов (см. задачу 23) BC=2R\sin\angle A
. Из точек P
и Q
отрезок AD
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AD
. Отрезок PQ
наибольший, если наибольший отрезок AD
, т. е. когда AD
— диаметр окружности. В этом случае AD=2R
, поэтому
PQ=AD\sin\angle A=2R\sin\angle A=BC.