10175. На меньшей дуге CD
описанной окружности квадрата ABCD
взята точка P
. Докажите, что PA+PC=\sqrt{2}PB
.
Указание. Примените теорему Птолемея (см. задачу 130).
Решение. Обозначим через a
сторону квадрата ABCD
. Применив теорему Птолемея к вписанному четырёхугольнику ABCP
, получим, что
BC\cdot PA+AB\cdot PC=AC\cdot PB,~\mbox{или}~a\cdot PA+a\cdot PC=a\sqrt{2}\cdot PB,
откуда PA+PC=\sqrt{2}PB
.